2019年中考数学：素养导向的试题观察1——2019连云港16题

编者按：

中考数学试题是检测学生学力，承载选拔功能，体现教学导向的有力凭据，也是实施教学的良好素材。作为一线数学教师的我们，应该深入研究各地的中考题，试题多解，优解挖掘，本源探究，也对试题的价值导向，教学建议等问题进行深入思考。

笔者已经研究了广州近10年的中考题，若有时间希望能适当每天做一份各地的中考试题，同时也阅读借鉴已发表的杂志文章，希望能给同学们和老师们带来一点借鉴。

为了方便阅读，笔者的公众号字体调大一点，同时尽量的不直接在word拷贝过来，以免大家阅读的时候眼睛辛苦。

今天探讨的是2019年江苏省连云港市的填空题16题。

动画理解题意：

由动画可知：AP/AT的值最大为3，如下面的静态图：

但是如何证明呢？

看来很有难度啊！

对于学生而言，难点至少有如下几个：

1，此题是双动点的问题，即随着点P的运动，点T也在运动变化，即线段AP,AT的长度都是变化的，现在要求这两个线段的比的最大值（当然也可以求最小值）；出题人是怎么想出这样的问题呢？

2，这样的模型学生平时非常少见，似乎没有现成的模型可以套用——这才是高水平的出题？

3，此题究竟考察学生什么样的知识和能力？或体现什么样的数学素养？

从知识角度而言，此题的知识很简单，矩形的概念，圆的概念，线段的比，最值，但是题目确有点难，为什么？如何才能命制出这样的好题？

4，此题的问题是“求线段比的最值”，那么，求线段比也有套路吗？

分析1：

还是回到如上图的一般情形，看看如何求线段的比？

自然而然的想到构造相似，把线段的比进行转化。

如图，作直线PN平行AB，交直线BD于点N，

则AP/AT=（AT+TP）/AT=1+TP/AT，

而TP/AT=PN/AB=PN/4,

所以只需求PN的最大值。

分析2：如何求PN的最大值呢？

分析3：要求PN的最大值，笔者第一时间想到了以点C为坐标原点来建系，这样可以写出圆C的方程，直线BD的方程，则可以轻松的表示点P和点N的坐标，这样求PN的最值就不是难事了。

但是考虑到初中学生的水平，（初中学生没有学习圆的方程或圆的参数方程），还有没有适合初中水平的解法呢？

由动态图可知：

当点P在圆C的右侧是，PN才会大一些，如下图：

探索：点P究竟在哪里时，PN最大呢？

解决：如下图：

设点H是切点，连接HC并延长交圆C与点G，作GM//PM，交直线BD于点M，

则GM为PN的最大值，

由于CD是三角形HGM的中位线，

所以GM=2CD=8，

即PN的最大值为8，

所以AP/AT的最大值为1+8/4=3.

解题反思1：

学科网上答案如下：

【点评】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．

反思2：一道填空题，学科网上的解答竟然如此复杂，说明这个解法值得优化！

笔者上述的解法可能不是最优的解法。

希望读者提出更多有益的解法

最后笔者参考了中数参的部分文章，阅读中数参等杂志让笔者获益良多。在此对编辑和著作者表示感谢！

同时笔者也提出了自己的独立思考，独立绘制各种图形，让读者能短时间看懂这个小文章。谢谢大家的阅读，有问题或心得体会的欢迎大家在留言处探讨……

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